可赎回债券的凸度（为什么债券的凸性是正的）

一、可赎回债的概述

可赎回债，又称为可买回债券，是债券的一种特殊形式。这种债券赋予发行人一项权利：在特定时刻，按照预设的价格，强制从债券持有人手中将其赎回。当市场利率显著跌至低于可赎回债券的票面利率时，发行人可能会选择赎回债券，并以较低的利率重新发行，从而节省利息支出。可赎回条款通常在债券发行后的若干年才会生效，赎回价格可能会高于或逐渐接近债券的面值。

二、深化理解：债券的久期与凸性的数学证明

久期描述了债券价格对利率变动的一阶敏感性，而凸性则揭示了价格与收益率关系的曲线弯曲程度。想象一下，当你改变利率时，债券价格的反应就像是一条上凸或下凸的曲线。这条曲线的斜率由久期描述，而其弯曲程度则通过凸性来衡量。在数学模型中，凸性被定义为债券价格对收益率的二阶导数。对于标准的债券（无隐含期权），其凸性总是为正，意味着当利率下降时，债券价格的上升速度会加快；反之，利率上升时，债券价格的下降速度会减缓。对于含有隐含期权的债券，如可赎回债，其凸性可能为负。这是因为当市场利率下降时，债券的赎回可能性增加，从而减缓了价格的上升速度。

三、可赎回债的赎回条件

可赎回债的赎回条款在市场利率大幅度低于票面利率时变得活跃。发行人如果认为以当前的市场利率重新发行新债券比继续按原债券的票面利率支付利息更为经济，就会选择赎回债券。赎回条款通常在债券发行后的若干年开始生效，并且赎回价格可能会随时间推移逐渐接近或高于债券的面值。在实际操作中，发行人可能会选择赎回部分而非全部债券，选择哪些债券被赎回通常基于计算机随机抽取或通过一定比例决定。

四、可赎回债的估值计算

假设我们有一个可赎回债，在0期的市场价格为1000元。如果债券在1期被赎回，其价值为1075+票面利息C，概率为50%；如果不被赎回，其价值受市场利率影响。将这些可能性和对应的价值折现到0期，我们就可以计算出该债券的估值。这是一个复杂的过程，涉及到概率计算和对未来市场利率的预测。具体的票面利息C可以通过上述公式进行计算。值得注意的是，这种计算方式仅供参考和讨论，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。

五、关于票面利率、久期不变时凸性的

通常认为，票面利率越大，凸性也越大。但实际上，对于n期零息债来说，无论票面利率是多少，只要它的久期（期限）确定且收益率不变，其凸性是不变的。这是因为凸性不仅与票面利率有关，还与债券的期限和收益率有关。在讨论债券的凸性时，我们需要综合考虑这些因素。

关于附息债券，关于久期与票面利率之间的关系，结论并非一成不变。实际上，附息债券的久期大小受到票面利率、市场利率（或称为收益率）以及债券期限等多重因素的影响。当票面利率发生变化时，久期也会随之变动。在市场利率和期限一定的情况下，票面利率与久期之间呈现出负相关的关系，也就是说，票面利率越大，久期反而越小。那些认为票面利率增大而久期不变的附息债券观点，是不准确的。

接下来，我们来“凸性为正的债券”这一概念。凸性，是对债券价格与利率之间关系的二阶估计，用于测量债券久期对利率的敏感性。当价格与收益率发生大幅度变动时，它们之间的关系并非简单的线性关系，这时候就需要考虑到凸性的影响。凸性是对这种非线性关系的偏离进行的修正。无论收益率是上升还是下降，凸性所带来的修正都是积极的、正面的。在修正持久期相同的情况下，凸性越大，越有利于投资者。

至于投资学中的债券凸性计算公式，它实际上就是债券价格对于到期收益率的二阶导数。这个公式能够帮助我们精确地计算凸性，从而更准确地预测和评估债券价格与收益率之间的关系，为投资决策提供更有价值的参考。

附息债券的特性、凸性的含义及其计算公式，都是我们在进行债券投资时必须深入理解的重要内容。在投资过程中，我们需要充分考虑到这些因素的变化，以做出更明智的投资决策。